bぅbぁbぇ

Thời gian – khái niệm không-thời gian – khái quát về mô hình không-thời gian phẳng (mêtric Minkowski)

Tính chất

Bất biến trong không-thời gian.
Di động đa tạp theo chiều thời gian
Là một đường thẳng có hướng không âm.
Không phải là một chiều không gian (nhưng là một chiều chính trong không-thời gian).
Chiều thời gian biến đổi là nguyên do biến một không gian thành một không-thời gian. Khi vậy, một điểm thuộc không gian bị biến đổi thành vô số điểm trong không-thời gian.
Số chiều của không gian là n thì số chiều của không-thời gian là n+1 (nếu ta thực hiện được phép biến hình giữa chúng).
Trong không gian n chiều, một hệ n+1 vectơ (chiều không gian lẫn thời gian) là độc lập tuyến tính. Lúc này, một hệ vectơ như thế còn được gọi là mục tiêu trực chuẩn.

*Lưu ý: Phép biến hình ở đây là một ánh xạ bảo toàn góc, gốc tọa độ và chiều không gian nhưng không bảo toàn số chiều và sự không có mặt của chiều thời gian.

Đối với không gian 3 chiều cổ điển, chiều dài của một ”
thước kẻ là hằng số và không phụ thuộc hệ quy chiếu:

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$

Ở đây, dx, dy, dz là hình chiếu của thước kẻ lên ba chiều x,y và z của không gian. Trong không-thời gian phẳng (mêtric Minkowski), độ dài thước kẻ biến thiên nhưng đại lượng sau thì không:

$ds^2=dl^2-c^2dt^2$

Trong đó, dt là độ biến thiên thời gian trong quá trình quan sát hai đầu thước kẻ của không-thời gian. Phương trình trên cho thấy chiều thời gian và chiều không gian không đối xứng với nhau. Còn c là tốc độ ánh sáng.

Amoniac

Định nghĩa, tính chất vật lý, hoá học

Trong hoá học, amoniac là một loại hợp chất vô cơ có tính khử. Kí hiệu hoá học là NH₃. Ta có phương trình điều chế amoniac:

$N_2+3H_2\xrightarrow{t^o}2NH_3$ .

Về tính chất vật lý, với điều kiện tiêu chuẩn, amoniac ở thể khí, có mùi khai, rất độc, tan nhiều trong nước.

Về tính chất hoá học: nguyên tử N của amoniac có một cặp electron tự do nên amoniac có tính bazo và xảy ra phản ứng

NH₃ + H⁺ –> NH₄.

Ở đây N có số oxi hoá thấp nên amoniac có tính khử. Ví dụ như phản ứng:

2NH₃ + 3Cl₂ –> N₂ + 6HCl.

Hơn nữa, amoniac bị kém bền bởi nhiệt. Nó bị phân huỷ ở nhiệt độ cao theo phản ứng:

2NH₃ –> N₂ + 3H₂.

Cách điều chế, sản xuất trong công nghiệp

Xem thêm ở https://vi.m.wikipedia.org/wiki/Amoniac để biết thêm thông tin.

Bài tập không gian vectơ

Câu 1. Định nghĩa tập Q(√2) = {a+b√2 | a, b∈ Q} với các phép toán như sau:
* (a+b√2) + (m+n√2) = (a+b) + (m+n)√2
* p(a+b√2) = pa + pb√2, p ∈ Q.

Chứng tỏ tập Q(√2) là một Q-không gian vectơ.

Câu 2. Đặt S là tập các hàm số xác định trên tập số thực R có dạng $f(x)=ax+b, g(x)=mx+n$ (a, b là các số thực, g, f trong S, m, n là các số hữu tỉ) với các phép toán cộng và nhân với một số hữu tỉ như sau:
$f(x)+g(x)=(f+g)(x)=(a+c)x+m+n$ .

Cùng với điều kiện như trên với số thực k, ta có phép nhân:
$(kf)(x)=kf(x)=k(a+b)$ .

Chứng tỏ S là một R-không gian vectơ.

Câu 3. Cho X, Y là 2 không gian vectơ. Trên V = X x Y xác định các phép toán cộng và nhân như sau:
$(\alpha_1,\beta_1)+(\alpha_2,\beta_2)=(\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2), \forall \alpha_i\in X,\beta_i\in Y$ .
$k(\alpha,\beta)=(k\alpha,k\beta),\forall \alpha\in X,\beta\in Y,k\in K$ (K là trường tuỳ ý).

Chứng tỏ V là một K-không gian vectơ.

Câu 4. Cho 3 vectơ α₁=(2,0,3), α₂=(0,2,-1), α₃=(1,2,3) trong R³. Hãy biểu thị tuyến tính vectơ β=(5,-2,1) qua 3 vectơ đã cho.

Câu 5. Cho 3 vectơ $\alpha_1$ = x-1, $\alpha_2$ = 1, $\alpha_3$ = x²+1 trong R[x]. Hãy biểu thị tuyến tính vectơ β= x²-x+1 qua 3 vectơ cho sẵn.

Câu 6. Các hệ vectơ nào sau đây là độc lập tuyến tính trong R[x]:
a) $\alpha_1=1,\alpha_2=x,\alpha_3=x^2$
b) $\alpha_1=1,\alpha_2=x+1,\alpha_3=x^2+1,\alpha_4=2x^2+x+3$ .

Câu 7. Cho 2 vectơ α= (3,a+b,5), β= (a+1,b-2,10) trong Q³. Tìm các số a, b để 2 vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính.

Bài tập hình học Afin (phần I)

Bài 1. Chứng minh rằng trong không gian afin $\mathbf{A}^n$ một hệ m+1 điểm $A_0,A_1,...,A_m$ độc lập khi & chỉ khi với mọi điểm O bất kể từ đẳng thức

$\displaystyle\sum_{i=0}^m\lambda_i\overrightarrow{OA_i}=\vec{0}$ và $\displaystyle\sum_{i=0}^m\lambda_i=0$

ta suy ra $\lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_m=0$ .

Bài 2. Trong không gian $\mathbf{A}^n$ cho một hình hộp ABCDA’B’C’D’ có dãy song song AA’//BB’//CC’//DD’. Ta chọn mục tiêu afin $\{E_0;E_1,E_2,E_3\}$ như sau: $E_0\equiv A,E_1\equiv A', E_2\equiv B,E_3\equiv D'$ . Hãy tìm toạ độ afin của các đỉnh còn lại và toạ độ tâm của các mặt bên của hình hộp.

Bài 3. Tìm công thức đổi mục tiêu từ $\{E_0;E_i\}$ qua $\{E'_0;E_i\}$ khi biết toạ độ của điểm $E'_0$ đối với mục tiêu $\{E_0;E_i\}$ là $(a_1,a_2,...,a_n)$ .

Bài 4. Trên mặt phẳng afin $\mathbf{A}^2$ cho hình bình hành ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Tìm công thức đổi mục tiêu từ $\{A;B,D\}$ qua $\{O;B,C\}$ .

Bài 5. Trên mặt phẳng afin cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm công thức đổi mục tiêu từ $\{A;B,C\}$ qua $\{G;B,C\}$ . Áp dụng công thức đổi mục tiêu hãy tìm toạ độ mới của trung điểm các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.

Bài 6. Chứng minh điều kiện cần và đủ để 4 điểm $A_1,A_2,A_3,A_4$ cùng thuộc một mặt phẳng afin là với một điểm P tuỳ ý ta có:

$\alpha_1\overrightarrow{PA_1}+\alpha_2\overrightarrow{PA_2}+\alpha_3\overrightarrow{PA_3}+\alpha_4\overrightarrow{PA_4}=\vec 0$

với $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0$ và có ít nhất một $\alpha_k\ne 0$ (k=1, 2, 3, 4).

Bài 7. Trong mặt phẳng afin cho mục tiêu $\{O;\vec{e_1},\vec{e_2}\}$ . Đối với mục tiêu này cho các điểm O'(2,-3), A(1,1), B(3,-6), M(5,-1). Hãy tìm toạ độ afin của M đối với mục tiêu afin $\{O';A,B\}$ .

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng với mục tiêu $\{A;B,D\}$ . Đối với mục tiêu này giả sử cho điểm M có toạ độ (α,β). Hãy tính toạ độ của điểm M đối với mục tiêu sau:

a) $\{C;B,D\}$
b) $\{B;C,A\}$
c) $\{D;C,A\}$ .

Bài tập Toán (phần II)

Bài 1. Chứng minh $\displaystyle\mbox{Hom}(\bigoplus_{i\in I} X_i,\prod_{j\in J} Y_j)\cong\prod_{(i,j)\in I\times J}(X_i,Y_j)$ là một đẳng cấu đúng trong đó $\{X_i\}_{i\in I},\{Y_i\}_{j\in J}$ là các họ module trên vành R.

Bài 2. Cho $X$ là module trên vành $R$ , $F(K)$ là module tự do sinh bởi $K$ . Chứng minh các đẳng cấu thức sau là đúng:
a) $\mbox{Hom}(R,X)\cong(X,+)$
b) $\mbox{Hom}(F(K),X)\cong\prod_{k\in K}(X,+)$ .

Bài 3. Chứng minh rằng $P$ là module xạ ảnh khi và chỉ khi với mọi đơn cấu $f:P\to C$ , mọi toàn cấu $\sigma:J\to C$ , với mọi module nội xạ $J$ luôn tồn tại một đồng cấu $\pi:P\to J$ sao cho $f=\sigma\circ\pi$ .

Bài 4. Chứng minh rằng module $J$ là nội xạ khi và chỉ khi với mọi toàn cấu $f:A\to J$ , mọi đơn cấu $\varphi:A\to P$ (P là module xạ ảnh) thì tồn tại một đồng cấu $\tilde{f}:P\to J$ sao cho $f=\tilde{f}\circ\varphi$ .

Bài 5. Chứng minh trong phạm trù các module trên vành $\mathbb{Z}$ tồn tại một ánh xạ $\mu:X\times Y\to V$ là song tuyến tính khi và chỉ khi $\mu$ là song cộng tính.

Bài 6. Gọi nhóm cộng các số hữu tỉ là $(\mathbb{Q},+)$ trên vành $\mathbb{Z}$ . Chứng minh:
a) $\mathbb{Q}\otimes\mathbb{Q}\cong\mathbb{Q}$
b) $\mathbb{Q}\otimes\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\cong 0$
c) Module A là xoắn thì $\mathbb{Q}\otimes A=0$ .

Bài 7. Chứng minh $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_q$ trong đó $q=(m,n)$ . Từ đó suy ra rằng nếu $q=1$ thì $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n=0$ .

Bài 8. Xét nhóm cộng các số nguyên $\mathbb{Z}$ và nhóm con $2\mathbb{Z}$ gồm các số nguyên chẵn. Khi đó $\gamma:2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là đơn cấu nhúng. Gọi A là nhóm cyclic cấp 2 với phần tử sinh là a, tức $A=\langle a\rangle$ . Chứng minh rằng $2\mathbb{Z}\otimes A$ là nhóm cyclic cấp 2 với phần tử sinh là $2\otimes a$ . Tuy nhiên tích tensor $\gamma\otimes 1_A$ là một đồng cấu 0 nên không phải là đơn cấu (mà là toàn cấu).

Bài 9. Cho $A$ là hạng tử trực tiếp của module phải $X$ trên vành $R$ , $B$ là hạng tử trực tiếp của module trái $Y$ trên vành $R$ và $f:A\to X,g:A\to Y$ là các phép nhúng. Chứng minh $f\otimes g:A\otimes B\to X\otimes Y$ cũng là một phép nhúng.

Bài tập Toán (phần I)

Bài 1. Chứng minh vi phân $\partial$ là một đồng cấu trên không gian metric $X$ . Chứng minh rằng $\bar{\partial}(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^m a_{i+1}\partial(x_i)$ là một đồng cấu vi phân với mọi $x\in X,a\in K, i\in I$ (X là không gian metric tuỳ ý, K là trường, I là tập chỉ số).

Bài 2. Chứng minh cùng với các điều kiện như trên, $\forall t\in[a,b],\forall a,b\in\mathbb{R},\forall i,j\in I,i\ne j$ và $\partial (x)=\displaystyle\int_a^b \sqrt{|x_i(t)-x_j(t)|}$ thì $\partial$ là một đồng cấu vi phân.

Bài 3. Chứng minh ánh xạ $\exp:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}-\{0\},\cdot)$ là một đồng cấu (gợi ý $\exp=\ln^{-1}$ ). Đồng thời chứng minh ánh xạ đó liên tục (gợi ý: áp dụng định nghĩa epsilon-delta $\varepsilon,\delta$ ).

Bài 4. Chứng minh không gian metric $X$ bất kỳ là một module (gợi ý: module thoả các tính chất phần tử đơn vị, kết hợp, nghịch đảo, đối và phân phối hai phía).

Phạm trù (toán học)

Định nghĩa

Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết phạm trù, là một cấu trúc đại số bao gồm vật được liên kết qua các cấu xạ. Các tính chất cơ bản của phạm trù:
1. Tích của các cấu xạ là một cấu xạ và có tính chất kết hợp.
2. Sự tồn tại của một cấu xạ đồng nhất từ một vật vào chính nó (ký hiệu là 1). Ở đây vật có thể cho là một tập hợp nào đó và cấu xạ là một ánh xạ tuỳ ý.

Phạm trù con

Cho tập con $\mathcal{K}\subset\mathcal{L}$ . Nếu $\mathcal{L}$ là một phạm trù và $\mathcal{K}$ thoả mọi tính chất của phạm trù $\mathcal{L}$ thì $\mathcal{K}$ là một phạm trù con của $\mathcal{L}$ .

Tóm lại

Tóm lại ta chỉ cần biết rằng phạm trù là một cấu trúc đại số mà các phần tử của nó là vật. Tập tất cả các cấu xạ giữa các vật (ký hiệu $\mbox{Hom}(A,B)$ hay $\mbox{Mor}(A,B)$ trong đó A, B là các vật) mang tính chất kết hợp và tính chất phần tử đơn vị $1_A$ hay $1_B$ .

Các loại phạm trù

Trong toán học có khá nhiều phạm trù mà chúng ta có thể đã biết đến. Ví dụ như phạm trù
$\mathcal{S}\mbox{t}$ là một phạm trù thông thường với vật là các tập hợp và cấu xạ là một ánh xạ tuỳ ý. Phạm trù $\mathcal{G}\mbox{r}$ có các vật là một nhóm (groupoid), cấu xạ là một đồng cấu nhóm, phạm trù $\mathcal{A}\mbox{b}$ với các vật là một nhóm abelian (giao hoán), cấu xạ là một đồng cấu nhóm abelian, vân…vân.

Tập thương

Định nghĩa

Cho tập $A\subset X$ không rỗng. Khi đó với mọi $a\in A,x\in X$ tồn tại $X/A=\{x+A:x\in X,a\in A\}$ được gọi là tập thương của $X$ theo $A$ .

Khi $X$ là một vành, $A\triangleleft X$ là ideal của $X$ thì ta gọi $X/A$ là vành thương. Chứng minh sử dụng các tiên đề của vành.

Các tính chất của vành thương X/A

Với mọi $x,y\in X,A\triangleleft X$ ta có:
1. $(x+A)+(y+A)=x+y+A$ ,
2. $(x+A)(y+A)=xy+A$ .

Định lý

Giả sử $X$ là vành giao hoán có đơn vị $1$ và $A\triangleleft X$ khi đó:
1. $X/A$ là miền nguyên khi và chỉ khi $A$ là ideal nguyên tố.
2. $X/A$ là trường khi và chỉ khi $A$ là ideal tối đại.

Ví dụ

Cho số nguyên dương $n$ với ideal $n\mathbb{Z}\triangleleft\mathbb{Z}$ . Khi đó vành thương $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ là vành các lớp đồng dư theo modulo $n$ .
Cho dãy khớp ngắn $A\overset{\tau} {\hookrightarrow}B\overset{\sigma}\twoheadrightarrow C$ . Khi đó tồn tại một đẳng cấu thức $C\cong B/\mbox{Ker}\sigma=B/\mbox{Im}\tau$ (tức $\sigma$ là một toàn cấu và $\tau$ là một đơn cấu).
Vân vân và vân vê…

Căn tensor

Định nghĩa

Cho các $R$ -module $X, Y$ ( $R$ là vành hệ tử hay vành các vô hướng) khác module $0$ , tồn tại các $R$ -module $X',Y'$ tức với mọi đồng cấu $\phi: X\to Y$ luôn tồn tại một đồng cấu $\mu:X'\to Y'$ sao cho tích tensor ánh xạ $\phi\otimes\mu:X\otimes X'\to Y\otimes Y'$ cũng là một đồng cấu. Khi này ta sẽ có một ánh xạ căn tensor $\text{Sq}_{\otimes}(\phi\otimes\mu):\text{Sq}_{\otimes}(X\otimes X')\to\text{Sq}_{\otimes}(Y\otimes Y')$ . Chứng minh ánh xạ này là một đồng cấu (Gợi ý: Sử dụng hai tính chất $\mbox{Sq}_{\otimes}(X\otimes X')=\mbox{Sq}_{\otimes}(X)\otimes\mbox{Sq}_{\otimes}(X')$ và tương tự với $\mbox{Sq}_{\otimes}(Y\otimes Y')$ sau đó chứng minh các phần tử của chúng thoả tính chất của module thì các tập không rỗng đó là một module, và nếu là một module thì giữa chúng là một đồng cấu, đpcm). Ở đây ta ký hiệu tắt cho $\mbox{Sq}_{\otimes}(X)$ là $\mbox{Sq}X$ .

Không gian định chuẩn

Định nghĩa

Cho $E$ là không gian vector trên trường số $K$ và ánh xạ $\lVert.\rVert:E\to\mathbb{R}$ được gọi là chuẩn trên E khi và chỉ khi nó thoả các điều kiện sau:
1. $\lVert x\rVert\ge 0$ với mọi x thuộc E
2. $\lVert x\rVert=0$ với $x=\vec 0$ thuộc E
3. $\lVert kx\rVert=|k|\lVert x\rVert$ với mọi x thuộc E và số thực k
4. $\lVert x+y\rVert=\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$ với x, y thuộc E.

Lúc này không gian vector E cùng với chuẩn $\lVert.\rVert$ được gọi là một không gian định chuẩn.

Có thể định nghĩa chuẩn là $\lVert x\rVert=\displaystyle\sup_{x\in E,|x|=1}\{|x_i|\}$ , đó là cận trên đúng của tập $\{|x_i|\}$ , có thể hiểu chuẩn như là vi phân độ dài của một vector nào đó.

Một số loại chuẩn

Không gian $\mathbb{R}^2$ cùng với các metric

$d_1(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$
$d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$
$d_{\infty}=\max\{|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\}$

là không gian định chuẩn với $d_p(x,y)=\lVert x-y\rVert_p$ và p thuộc [0,1].
Không gian $L^p$ các hàm số mũ p khả tích trên đoạn đơn vị [0,1] với chuẩn $\lVert.\rVert_p$ như sau
Khi p = 1
$\rVert f\lVert_p=\displaystyle\int_0^1 |f(t)|dt$
Khi $1<p<\infty$
$$\displaystyle\int_0^1 |f(t)|^p$^{1/p}$ . Giống như trên nhưng bỏ số mũ p vào |f(t)| và tất cả tích phân mũ 1/p.
Khi p vô cực
$\lVert f\rVert=\inf\{\lambda:|f(x)|\le \lambda\}$ .