bぅbぁbぇ

Quả cầu (toán học)

Trong không gian mêtric M, một quả cầu mở với bán kính r > 0 và tâm p thuộc M được cho bởi
$B_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$
trong đó d là hàm khoảng cách.

Còn đối với quả cầu đóng
$\bar{B}_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)\le r\}.$

Một quả cầu là đơn vị khi và chỉ khi bán kính r = 1.

Định nghĩa

Trong giải tích toán học, dãy là một ánh xạ x : X $\to$ Y trong đó X là một tập con của tập số tự nhiên, kí hiệu $x(n)=x_n$ với mọi n thuộc X.

Khi X hữu hạn ta có dãy hữu hạn
$x_{n1},x_{n2},...,x_n$

Ngược lại thì vô hạn
$x_1,x_2,...,x_n,...$

Nếu Y là tập số thì $x_n$ là dãy số. Dãy $x_n$ là dãy số khi và chỉ khi ánh xạ x đồng nhất. Tương tự nếu Y là tập hợp các hàm thì x là dãy hàm.

Tổng quát

Một cách tổng quát, ta có thể coi dãy không khác gì một khái niệm gọi là lưới (hay dãy Moore-Smith) là một ánh xạ x : I $\to$ X trong đó I là tập chỉ số chứa trong $\mathbb{N}$ và X là không gian topo tuỳ ý khác rỗng. Tổng quát hơn nữa thì có thể cho I là tập được định hướng. Lúc này ta viết $x(i)=x_i$ với mọi i thuộc I.

Dãy đơn điệu

Định nghĩa

Ở đây ta chỉ đề cập đến dãy số thực.
Cho một dãy số $(x_n)_{n\ge 1}$ bất kỳ, ta có hai loại:

Không giảm: Tức là $x_n\ge x_{n+1}$ với mọi n nguyên ≥ 1.
Không tăng: Tức là $x_n\le x_{n+1}$ với mọi n nguyên ≥ 1.

(*) Lưu ý: Người ta thường ký hiệu dãy số là $(x_n)_{n\ge 1}$ .

Dãy bị chặn

Định nghĩa

Tồn tại một dãy $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ là bị chặn (hoàn toàn) khi và chỉ khi nó bị chặn trên lẫn dưới.

Bị chặn trên: Cho một dãy như trên, tồn tại số thực tuỳ ý T sao cho $x_n \le T$ thì khi đó dãy bị chặn trên. Và T được gọi là giá trị chặn trên.
Bị chặn dưới: Tương tự một dãy đó, tồn tại số thực tuỳ ý D sao cho $x_n\ge D$ . Khi đó D là giá trị chặn dưới.

Giới hạn của dãy

Cho dãy $(x_n)_{n\ge1}$ với một số thực x. Khi đó nếu
$\forall \; \varepsilon \; >\; 0, \exists \; n_0 \in \mathbb{N},\forall n > n_0, |x_n-x|<\varepsilon$ .

Khi đó x là giới hạn của dãy số (ta cũng có thể gọi dãy này là hội tụ tại x). Ký hiệu $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=x$ .

Các định lý cơ bản

1. Dãy $x_n$ là bị chặn khi và chỉ khi giới hạn của nó là hữu hạn. Nếu vô hạn thì ta gọi là không có giới hạn, hay không bị chặn.
2. Một dãy là hội tụ khi và chỉ khi nó chỉ có duy nhất một giới hạn.
3. Nếu $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=a, \lim_{n\to\infty}y_n=b$ và $x_n \le y_n,\forall n\in\mathbb{N}$ thì a ≤ b.
4. Nếu $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=a$ và $x_n\le z_n\le y_n,\forall n\in\mathbb{N}$ thì $\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=a$ .
5. Dãy đơn điệu tăng/giảm là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên/dưới.

Tính chất

Nếu các dãy $x_n,y_n$ hội tụ và giới hạn của chúng lần lượt bằng $L_1,L_2$ thì

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n\pm y_n)=L_1\pm L_2$ và

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=L_1L_2$ .

Tương tự như vậy đối với thương.

Ví dụ

Về dãy đơn điệu

Xét dãy $(2^n)_{n\ge 1}$ , ta có $2^{n+1}=2^n.2$ . Do 2 > n nên $1.2^n < 2.2^n$ hay $2^n < 2^{n+1}$ . Suy ra $(2^n)_{n\ge 1}$ .

Về dãy bị chặn

Xét dãy $(4^n)_{n\ge 1}$ , dãy này bị chặn dưới bởi số 4 vì nó luôn có giá trị ≥ 4.

Vấn đề chéo hoá ma trận

Đặt bài toán

Có một bài toán: Cho V là không gian vector hữu hạn, $T:V\to V$ là một toán tử tuyến tính trên V. Ta đã biết ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?

Bài toán 2: Cũng một giả thiết trên. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?

Cách giải

Giả sử A là ma trận của T đối với cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép biến đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là $P^{-1}AP$ trong đó P là ma trận đổi cơ sở.

Vậy bài toán đầu tiên tương đương với bài toán sau: Hỏi có tồn tại một phép biến đổi cơ sở để ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo?

Nếu V là một không gian có tích vô hướng và những cơ sở là trực chuẩn thì theo định lý “Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn mới thì nó trực giao, tức là $P^tP=I$ trong đó P^t là ma trận chuyển vị, I là ma trận đơn vị, do đó $P^{-1}=P^t$ “, P là trực giao.

Định nghĩa

Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hoá được hay P chéo hoá cho A. Như vậy A chéo hoá được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.

Giải bài toán chéo hoá ma trận

Giả sử A là ma trận vuông cấp n (n nguyên dương). Điều kiện cần và đủ để A chéo hoá được là nó có vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Giả sử A chéo hoá được, tức là tồn tại P khả đảo trong đó

$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mn} \end{bmatrix}$ ,

sao cho $P^{-1}AP=D$ , với

$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & &\\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ .

Ta suy AP = PD.

Gọi $p_1,p_2,...,p_n$ là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là $Ap_1,Ap_2,...,Ap_2$ . Đồng thời

$PD = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1p_{11} & \lambda_2p_{12} & \cdots & \lambda_np_1n \\ \lambda_1p_{21} & \lambda_2p_{22} & \cdots & \lambda_np_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1p_{1n} & \lambda_2p_{n2} & \cdots & \lambda_2p_{nn} \end{bmatrix}$

Vậy phương trình AP = PD cho thấy

$Ap_1 = \lambda_1p_1, Ap_2 = \lambda_2p_2,...,Ap_n=\lambda_np_n$

Vì P khả đảo nên các vectơ $p_i\ne\vec{0}$ do đó $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ là các trị riêng của A và $p_1,p_2,...,p_n$ là các vectơ riêng tương ứng.

Cũng do P khả đảo nên định thức của nó khác 0 và các vectơ $p_1,p_2,...,p_n$ độc lập tuyến tính.

Vậy khi A chéo hoá được thì nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Quy trình chéo hoá một ma trận

B1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A: $p_1,p_2,...,p_n$

B2: Lập ma trận P có dãy vectơ trên làm các cột

B3: Ma trận $P^{-1}AP$ sẽ là ma trận chéo với $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó $\lambda_i$ là các trị riêng ứng $p_i$ , i = 1,2,…,n.

Chéo hoá ma trận có n trị riêng khác nhau

Định lý

Nếu ma trận A vuông cấp n có n trị riêng ứng khác nhau thì A chéo hoá được.

Trường Galois (phần 2)

Chu kỳ của một phần tử

Xét một phần tử a khác 0 tuỳ ý thuộc trường GF(q). Xét các luỹ thừa $a^k$ của a với k = 1,2…,n. Vì trường đóng với phép nhân nên $a^k$ cũng thuộc GF(q). Và k có thể nhận vô hạn giá trị mà trường đó chỉ có q phần tử nên tồn tại hai giá trị $k_1,k_2$ khác không và khác nhau sao cho

$a^{k_1}=a^{k_2}\Rightarrow a^{|k_1-k_2|}=1$

Chu kỳ của phần tử a thuộc GF(q) là một số nguyên dương n nhỏ nhất $a^n=1$

Dãy $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n=1$ tạo nên một nhóm con đóng với phép nhân trên GF(q).

Nhóm tuần hoàn

Một nhóm (không chứa phần tử 0) với phép × trên được gọi là một tuần hoàn nếu tồn tại một phần tử trong nhóm mà các luỹ thừa của nó tạo nên mọi phần tử của nhóm.

Từ định nghĩa này suy ra một nhóm hữu hạn có chu kỳ đúng bằng số phần tử của nó.

Ta có định lý: Nếu a khác 0 và thuộc trường GF(q) thì $a^{q-1}=1$ .

Định lý về chu kỳ: Nếu ta có một phần tử khác 0 thuộc GF(q) thì chu kỳ của nó là ước của q – 1.

Phần tử cơ sở

Tồn tại a khác 0 thuộc GF(q) là phần tử cơ sở nếu a = q – 1.

Suy ra nếu a là phần tử cơ sở thì luỹ thừa của a gồm $a^0=1,a^1=a,...,a^{q-2}$ tạo nên q – 1 phần tử khác 0 của trường GF(q).

Trường GF(2)

Một trường K gồm các phần tử 0, 1 với phép toán hai ngôi + và × như sau

+: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 nhớ 1

×: 0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Tính chất

Phần tử đối xứng của 0 là 1 và của 1 là 0 qua phép cộng

Còn qua phép nhân, phần tử của 1 là 1 (không có của 0).

Đa thức trên GF(2)

Ký hiệu f(x) là đa thức trên GF(2), có dạng:

$f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$

với hệ số a_i thuộc GF(2).

Bậc của đa thức

Trong một hạng tử nào đó của đa thức f(x) có bậc lớn nhất thì nó là bậc của đa thức f(x).

Phép toán giữa các đa thức

Cho hai đa thức $f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ và $g(x)=\sum_{i=0}^n b_j$ . Ta có tổng f(x) + g(x) là

$\sum_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i$

Còn với phép nhân ta có

$\sum_{i,j=0}^n (a_ib_j)x^{i+j}$

trong đó $a_i,b_j\in GF(2)$ và $a_i+b_i, a_ib_j$ được thực hiện ngay trên GF(2).

Đa thức tối giản

Một đa thức trên GF(2) là tối giản khi và chỉ khi nó không thể phân tích được thành tích của các (hay ít nhất một) đa thức có bậc nhỏ hơn.

Bổ đề

Cho f(x) là một đa thức trên GF(2) thì $f(x)^{2^n}=f(x^{2^n})$ .

Trường GF(2^m)

Truờng K là GF(2^m) nếu và chỉ nếu $\{0,1,a_1,...,a_{2^m-2}\}$ với 0, 1 thuộc GF(2) và GF(2) là trường con của GF(2^m) và được gọi là trường cơ sở của GF(2^m).

Chú ý

Nếu a thuộc GF(2) và f(x) là một đa thức trên trường đó thì f(a) thuộc GF(2^m).
Có vô hạn đa thức f(x) trên GF(2) mà chỉ có hữu hạn ( $2^m$ ) phần tử thuộc GF(2^m) nên mọi a khác 0 thuộc GF(2^m) ta có hai đa thức $f_{\mathit{1}}(x),f_{\mathit{2}}(x)$ khác nhau sao cho $f_{\mathit{1}}(a)=f_{\mathit{2}}(a)$ . Từ đây nếu đặt $f(x)=f_{\mathit{1}}(x)-f_{\mathit{2}}(x)$ thì f(a) = 0.

Trường Galois (phần 1)

Định nghĩa

Tồn tại một tập hợp khác rỗng K là một trường đại số. K là trường Galois nếu và chỉ nếu K có hữu hạn phần tử. Kí hiệu $GF(q)$ trong đó q là số phần tử của trường.

Định lý

1. Mọi trường Galois đều được biểu diễn dưới dạng $GF(p^n)$ trong đó p là số nguyên tố, n là số nguyên dương tuỳ ý.

Trị riêng của một trường

Xét tổng $\sum_1^k 1 = 1+1+...+1$ (k lần, k = 1,2…). Do trường đóng với phép cộng + nên tổng này cũng là phần tử của trường. Vì số k có thể nhận vô hạn giá trị mà trường chỉ có q phần tử nên tồn tại hai giá trị $k_1, k_2$ với chúng khác nhau (giả sử k1 > k2) sao cho

$\sum_1^{k_1} 1 = \sum_1^{k_2}1$

Tương đương với

$\sum_1^{k_1-k_2}1 = 0$

Lúc này trị riêng của một trường là một số λ sao cho

$\sum_1^{\lambda}1=0$

Dễ thấy rằng đối với $GF(q)= \{0,1,...,q-1\}$ với số nguyên tố q thì λ = q. Vậy ta có định lý thứ hai sau

Định lý 2

Trị riêng λ của trường GF(q) là một số nguyên tố.

Chứng minh định lý 2

Giờ ta chứng minh phản chứng: Giả sử λ không nguyên tố, tức là λ = k.h (với k, h nguyên > 1). Từ quy tắc phân phối nhân vào cộng suy ra

$\sum_1^k 1\cdot\sum_1^h 1= \sum_1^{k.h}1=\sum_1^{\lambda}1$

Suy ra

$\sum_1^k 1=\sum_1^h 1= 0$

Mà k, h < λ, điều này mâu thuẫn với định nghĩa của k.

Định thức của ma trận vuông

Định nghĩa và các loại

Định thức của ma trận được định nghĩa qua hàm sau:

$\begin{matrix} \det:\mathcal{M}_{n\times n} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \longmapsto \delta\in\mathbb{R} \end{matrix}$ . Nó là một phép toán một ngôi trên nhóm các ma trận vuông.

Định thức của ma trận cấp 1

Tồn tại ma trận $A = [a_{11}]$ . Ký hiệu định thức của A là hàm det(A) và định thức của nó bằng $\det(A) = a_{11}$ .

Định thức ma trận vuông cấp 2

Tồn tại $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ thì định thức là $A=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{22}$ .

Định thức ma trận cấp 3

Ví dụ định thức ma trận $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 5 & 6 \\ 7 & -8 & 9 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 9 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} -4 & 5 \\ 7 & -8 \end{vmatrix}$ . Đó là cách tính. Thay vì dùng ký hiệu det người ta dùng || (ở giữa là các số) để ngắn gọn hơn.

Tính chất

1. Định thức của ma trận tùy ý bằng định thức của ma trận chuyển vị. Ký hiệu $\det(A) = \det(A^t)$ .

2. Đổi chỗ hai hàng (hay cột) của một định thức ta được một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.

3. Một định thức có hai hàng (hay cột) như nhau thì bằng 0.

4. Coi Tính chất 4 trang 103 (chương III) sách Toán Học Cao Cấp (tập một) Đại Số và Hình Học Giải Tích (Nguyễn Đình Trí chủ biên, có thể tìm trên Google).

5. Một định thức của một ma trận có một hàng (hay cột) toàn số 0 thì bằng 0.

6. Khi nhân các phần tử của một hàng (hay cột) với cùng một số k tùy ý thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.

7. Một định thức có hai hàng (hay cột) tỉ lệ thì bằng 0.

8. Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng hai định thức

9. Nếu một định thức có một hàng (hay cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hay cột) khác thì định thức ấy bằng 0.

10. Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay cột) thì được một định thức mới bằng định thức cũ.

11. (Về các định thức có dạng tam giác). Các định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử đường chéo:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}$ .

Hàm mũ

Hàm mũ.

Quan hệ (toán học)

Quan hệ (toán học).

Quan hệ (toán học)

Tồn tại A khác rỗng cũng với tính chất $\Re$ liên quan đến hai phần tử của A là a, b. Nếu a, b của A thỏa mãn $\Re$ thì ta nói a và b có
quan hệ với nhau. Ký hiệu $a\ \Re \ b$ . Lúc này $\Re$ là quan hệ hai ngôi.

Tính chất của quan hệ hai ngôi (a, b thuộc A):

1. Phản xạ: $a\ \Re \ a$

2. Đối xứng: $a\ \Re \ b \Longleftrightarrow b\ \Re \ a$

3. Phản đối xứng: $a\ \Re \ b, b\ \Re \ a \Longrightarrow a=b$

4. Bắc cầu (truyền): $a\ \Re \ b, b\ \Re \ c \Longrightarrow a\ \Re \ c$ .

Quan hệ tương đương:

Một quan hệ tương đương là một quan hệ $\Re$ thỏa ba tính chất 1, 2, 4 như trên. Nếu $\Re$ là một quan hệ tương đương và $a\ \Re \ b$ thì ta viết $a\sim b$ .

Lớp tương đương:

Một tập A khác rỗng có một quan hệ tương đương $\Re$ . Giả sử ta đang xét một phần tử a của A. Khi đó mọi phần tử b của A tương đương với a lập nên một tập khác rỗng gọi là lớp tương đương. Ký hiệu

$\mathfrak{C}(a,\Re)= \{b:b\in A, b\sim a\}$ .

Có thể xem a lớp tương đương.

Quan hệ thứ tự:

Một quan hệ thứ tự là một quan hệ $\Re$ trên A nếu và chỉ nếu nó thỏa ba tính chất 1, 3, 4 như trên.

Quan hệ thứ tự toàn phần:

Một quan hệ thứ tự $\Re$ là toàn phần nếu và chỉ nếu với mọi phần tử a,b của A chỉ xảy ra hoặc $a\ \Re\ b$ hoặc $b\ \Re\ a$ . Khi đó ký hiệu $a\sqsubseteq b$ . Ngược lại với quan hệ thứ tự toàn phần là quan hệ thứ tự bộ phận.

Tập có thứ tự:

Một tập hợp khác rỗng A cùng với một quan hệ thứ tự $\Re$ , tồn tại a, b thuộc E và $a\ \Re\ b$ thì ta nói a có thể so sánh được với b. Một quan hệ $\Re$ xác định cho một thứ tự so sánh của các phần tử của một tập không rỗng.

Nếu một quan hệ thứ tự $\Re$ thì mọi phần tử của A đều được sắp thứ tự theo $\Re$ . Lúc này ta nói A được sắp thứ tự bởi $\Re$ .

Ví dụ:

Trên $\mathbb{R}$ và mọi tập con của nó, quan hệ $\le$ là thứ tự toàn phần vì mọi phần tử của nó đều có thể so sánh được qua $\le$ .

Quan hệ $\subset$ giữa các tập khác rỗng là thứ tự bộ phận vì vẫn có trường hợp chúng rời nhau (tức là không có giao điểm). Chẳng hạn không tồn tại $A\subset B$ thì cũng đâu có $B\subset A$ .

Đạo hàm của hàm suy rộng

Giả sử tồn tại một tập hợp khác rỗng là không gian tuyến tính các đạo hàm khả vi ký hiệu $\mathfrak{D}'$ và phần tử của nó là $f'$ .

Nếu $f(x) \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ thì khi đó f xác định một hàm suy rộng $f \in\mathfrak{D}'(\mathbb{R})$ :

$(f,\varphi) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\varphi(x)dx, \forall \varphi \in \mathfrak{D}(\mathbb{R})$

Hơn nữa đạo hàm $f'\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ cũng suy rộng và

$(f',\varphi) = -(f,\varphi')$

Tương tự,

$(f^{(k)},\varphi) = (-1)^k(f,\varphi^{(k)})$

Nhận xét:

1. Nếu $f(x)$ là hàm khả tích địa phương trong $\mathbb{R}$ thì đạo hàm Sobolev và đạo hàm suy rộng là trùng nhau.
2. Nếu $f\in \mathfrak{D}(\mathbb{R})$ , $\alpha(x)\in C^{\infty}$ thì $\begin{matrix} ((\alpha,f)',\varphi) & = & -(\alpha f,\varphi') \\ \ & = & (f,-\alpha\varphi') & = & (f,-(\alpha\varphi)'+\alpha'\varphi) = (f',\alpha\varphi) + (f,\alpha'\varphi) \\ \ & = & (\alpha f'+\alpha'f,\varphi) \end{matrix}$ .

3. Xác định hàm $\theta(x)$ như sau:

$\theta(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{khi } x > 0 \\ 0 & \mbox{khi } x \le 0 \end{cases}$

(Hàm Heauside)

Hàm $\theta(x)$ khả tích địa phương do đó nó xác định hàm suy rộng $\theta(x)\in \mathfrak{D}'$ .

$\begin{matrix}(\theta',\varphi) & = & -\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(x)\varphi'(x)dx \\ \ & = & -\int_0^{+\infty}\varphi'(x)dx \end{matrix}$ . Do đó $\theta'= \delta$ . Tương tự, $\theta'(x-a) = \delta(x-a)$ .

Đạo hàm nhiều biến:

Cho $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ mở, $f\in \mathfrak{D}'(\Omega)$ . Khi đó $f^{(\alpha)}$ của miền $\Omega$ là một phiếm hàm g được xác định theo quy tắc

$(f,{\partial^{\alpha}\varphi \over \partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}) = (-1)^{|\alpha|}(g,\varphi)$

Ký hiệu $g = {\partial^{\alpha}\varphi \over \partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}$ . Rõ ràng $g\in\mathfrak{D}'(\Omega)$ .

Nhận xét:

1. $f'$ có đạo hàm mọi cấp.

2. Với mọi $f'\in\mathfrak{D}$ ta có

$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ .

3. Nếu f khả tích địa phương trong $\Omega$ , có đạo hàm Sobolev $D^{\alpha}f$ thì đạo hàm suy rộng trùng với đạo hàm Sobolev.

Nghiệm của phương trình vi phân:

Hàm $\omega(x)$ được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử vi phân $P(D)$ nếu nó là nghiệm của phương trình $P(D)\omega = \delta$ .