Không gian định chuẩn

Định nghĩa

Cho $E$ là không gian vector trên trường số $K$ và ánh xạ $\lVert.\rVert:E\to\mathbb{R}$ được gọi là chuẩn trên E khi và chỉ khi nó thoả các điều kiện sau:
1. $\lVert x\rVert\ge 0$ với mọi x thuộc E
2. $\lVert x\rVert=0$ với $x=\vec 0$ thuộc E
3. $\lVert kx\rVert=|k|\lVert x\rVert$ với mọi x thuộc E và số thực k
4. $\lVert x+y\rVert=\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$ với x, y thuộc E.

Lúc này không gian vector E cùng với chuẩn $\lVert.\rVert$ được gọi là một không gian định chuẩn.

Có thể định nghĩa chuẩn là $\lVert x\rVert=\displaystyle\sup_{x\in E,|x|=1}\{|x_i|\}$ , đó là cận trên đúng của tập $\{|x_i|\}$ , có thể hiểu chuẩn như là vi phân độ dài của một vector nào đó.

Một số loại chuẩn

Không gian $\mathbb{R}^2$ cùng với các metric

$d_1(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$
$d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$
$d_{\infty}=\max\{|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\}$

là không gian định chuẩn với $d_p(x,y)=\lVert x-y\rVert_p$ và p thuộc [0,1].
Không gian $L^p$ các hàm số mũ p khả tích trên đoạn đơn vị [0,1] với chuẩn $\lVert.\rVert_p$ như sau
Khi p = 1
$\rVert f\lVert_p=\displaystyle\int_0^1 |f(t)|dt$
Khi $1<p<\infty$
$$\displaystyle\int_0^1 |f(t)|^p$^{1/p}$ . Giống như trên nhưng bỏ số mũ p vào |f(t)| và tất cả tích phân mũ 1/p.
Khi p vô cực
$\lVert f\rVert=\inf\{\lambda:|f(x)|\le \lambda\}$ .