Hàm mũ

Khi chúng ta đạt đến cấp trung học phổ thông ta sẽ được nhắc lại về khái niệm hàm mũ của giải tích sơ cấp

Ví dụ các hàm y = a^x, y = x^a, y = x^x đều là hàm mũ. Ở trung học phổ thông, chúng ta sẽ tính toán sử dụng hàm mũ (hàm ngược lại là hàm logarit), vẽ đồ thị biểu hiện hàm mũ. Nói đến ngôn ngữ giải tích hàm, hàm mũ, cái gọi là phép toán đa ngôi  trên tập số thực \mathbb{R} được kí hiệu
\begin{matrix} \hat \,:\mathbb{R}\times \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ (x,x_1,x_2,...x_{n-1}) & \longmapsto & x^{x_1^{...}} \end{matrix} là một song ánh.

Topo rời rạc

Một không gian topo X được trang bị bởi một topo rời rạc nếu và chỉ nếu toàn bộ tập con của X là mở hoặc toàn bộ đóng (nhưng không thể có cái mở, có cái đóng), lúc này X được gọi là không gian topo rời rạc:

Một topo là thuần nhất rời rạc nếu và chỉ nếu tồn tại một tập mẹ của tập các phần tử đường chéo (tức là tích Đề-các) X \times X = \{(x,x):x \in X\} là thuần nhất. Một không gian topo thuần nhất rời rạc X là tập hợp khác rỗng được trang bị bởi một topo rời rạc thuần nhất (hay thuần nhất rời rạc).

Một tập hợp X khác rỗng được trang bị bởi một metric rời rạc nếu và chỉ nếu \forall x, y \in X : d(x,y) \in \mathbb{R} . Lúc này X là không gian metric rời rạc.

Một không gian metric X rời rạc thuần nhất nếu và chỉ nếu tồn tại r > 0 sao cho với bất kỳ x,y \in X , thì x = y hay d(x,y) > r . Topo ẩn dưới metric này là rời rạc, nhưng một metric không cần rời rạc.

  • Một ví dụ như là tập \{1/n: n \in 2\mathbb{N}\cup\{1\}\} không có metric rời rạc.
  • Đoạn [0,1] có hai điểm biên là 0 và 1, giữa hai điểm biên của đoạn đó vẫn còn có vô hạn phần tử (tức là không đếm được), vậy thì tập này không có metric rời rạc và ngược lại là có metric tự nhiên.
  • \mathbb{Z} trái ngược hoàn toàn với đoạn [0,1] nên trên \mathbb{Z} có metric rời rạc và không có metric tự nhiên.
  • \mathbb{Q}, \mathbb{I} đều rời rạc nhưng \mathbb{R} thì không.

Độ đo

Có thể coi các hàm \cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , \sin: \mathbb{R} \to \mathbb{R} là một độ đo.

huynumnguyen

Tồn tại hàm $latex mu: A to mathbb{R}$ đại diện cho diện tích, độ dài, xác suất (không có đơn vị cụ thể) hay đôi khi là số phần tử. Từ định nghĩa hàm trên ta nói rằng $latex mu$ là độ đo của $latex A$ . Nhưng độ đo chỉ có thể là dương, vô cực.

  •  Tập rỗng có độ đo không $latex mu(emptyset) = 0$ .
  •  Độ đo là $latex sigma$-cộng tính: Nếu $latex E_i$ là các tập con của một $latex sigma$ đại số $latex X$, đếm được và không giao nhau từng đôi một và E là hợp của chúng thì $latex mu (bigcup_{i=1}^n E_i ) = sum_{i=1}^n mu(E_i)$ .

Tính chất: Giả sử tồn tại $latex E_i$ đo được:

  • Nếu $latex E_1 subset E_2$ thì $latex mu(E_1) le mu(E_2)$ .
  • Tồn tại $latex mu(E) = lim_{n to infty} mu(E_n)$ .

Hợp và giao bất kỳ các…

View original post 154 more words

Độ đo

Tồn tại hàm \mu: A \to \mathbb{R} đại diện cho diện tích, độ dài, xác suất (không có đơn vị cụ thể) hay đôi khi là số phần tử. Từ định nghĩa hàm trên ta nói rằng \mu là độ đo của A . Nhưng độ đo chỉ có thể là dương, vô cực.

  •  Tập rỗng có độ đo không \mu(\emptyset) = 0 .
  •  Độ đo là \sigma-cộng tính: Nếu E_i là các tập con của một \sigma đại số X, đếm được và không giao nhau từng đôi một và E là hợp của chúng thì \mu (\bigcup_{i=1}^n E_i ) = \sum_{i=1}^n \mu(E_i) .

Tính chất: Giả sử tồn tại E_i đo được:

  • Nếu E_1 \subset E_2 thì \mu(E_1) \le \mu(E_2) .
  • Tồn tại \mu(E) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) .

Hợp và giao bất kỳ các E_i đo được.

Giả sử A không nhất thiết phải khác rỗng ta có:

  • Độ đo đếm được của A chính là lực lượng.
  • Độ đo Lebesgue bất biến qua phép dịch chuyển trên \sigma-đại số chứa các đoạn của \mathbb{R} như \mu([a,b]) = |a - b| . Nói cách khác, độ đo Lebesgue xác định một miền khả tích Lebesgue và nhận giá trị số thực.
  • Độ đo “không” được định nghĩa bởi \mu(A) = 0 .
  • Độ đo Haar xác định một nhóm khả topo compact địa phương và nhận giá trị số thực.
  • Độ đo xác suất xác định một tập hợp nào đó và nhận giá trị trong đoạn [0,1] .

Các độ đo khác như độ dài, diện tích hay thể tích.

Một cách tổng quát, độ đo được định nghĩa bởi \mu: A \to K với K là trường số phức.